2017年本溪中考數學試卷答案解析及word文字版下載（難度系數點評）

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．?2的絕對值是（　　）
A．?2B．?C．2D．
2．下列運算錯誤的是（　　）
A．?m2•m3=?m5B．?x2+2x2=x2
C．（?a3b）2=a6b2D．?2x（x?y）=?2x2?2xy
3．下面幾何體的俯視圖是（　　）

A．B．C．D．
4．下列圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　　）
A．B．C．D．
5．7名同學每周在校體育鍛煉時間（單位：小時）分別為：7，5，8，6，9，7，8，這組數據的中位數是（　　）
A．6B．7C．7.5D．8
6．有五張背面完全相同的卡片，正面分別寫有，（）0，，，2?2，把卡片背面朝上洗勻后，從中隨機抽取一張，其正面的數字是無理數的概率是（　　）
A．B．C．D．
7．若a，且a、b是兩個連續整數，則a+b的值是（　　）
A．1B．2C．3D．4
8．小亮從家出發去距離9千米的姥姥家，他騎自行車前往比乘汽車多用20分鐘，乘汽車的均速度是騎自行車的3倍，設騎自行車的均速度為x千米/時，根據題意列方程得（　　）
A．B．C．D．
9．如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（?1，0），其對稱軸為直線x=1，下面結論中正確的是（　　）

A．abc＞0B．2a?b=0C．4a+2b+c＜0D．9a+3b+c=0
10．如圖，點A、C為反比例函數y=圖象上的點，過點A、C分別作AB⊥x軸，CD⊥x軸，垂足分別為B、D，連接OA、AC、OC，線段OC交AB于點E，點E恰好為OC的中點，當△AEC的面積為時，k的值為（　　）

A．4B．6C．?4D．?6
　
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分．
11．截止到6月，我國森林覆蓋面積約為208000000公頃，將208000000用科學記數法表示為　　．
12．因式分解：3ax2+6ax+3a=　　．
13．甲、乙兩名同學投擲實心球，每人投10次，均成績為18米，方差分別為S甲2=0.1，S乙2=0.04，成績比較穩定的是　　（填“甲”或“乙”）．
14．已知：點A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函數y=?2x+5圖象上的兩點，當x1＞x2時，y1　　y2．（填“＞”、“=”或“＜”）
15．關于x的方程kx2?4x?4=0有兩個不相等的實數根，則k的最小整數值為　　．
16．如圖，小華把同心圓紙板掛在墻上玩飛鏢游戲（每次飛鏢均落在紙板上），已知大圓半徑為30cm，小圓半徑為20cm，則飛鏢擊中陰影區域的概率是　　．

18．如圖，面積為1的等腰直角△OA1A2，∠OA2A1=90°，且OA2為斜邊在△OA1A2，外作等腰直角△OA2A3，以OA3為斜邊在△OA2A3，外作等腰直角△OA3A4，以OA4為斜邊在△OA3A4，外作等腰直角△OA4A5，…連接A1A3，A3A5，A5A7，…分別與OA2，OA4，OA6，…交于點B1，B2，B3，…按此規律繼續下去，記△OB1A3的面積為S1，△OB2A5的面積為S2，△OB3A7的面積為S3，…△OBnA2n+1的面積為Sn，則Sn=　　（用含正整數n的式子表示）．

　
三、解答題：第19題10分，第20題12分，共22分．
19．先化簡，再求值：
（），請在?3，0，1，3中選擇一個適當的數作為x值．
20．為了解學生對校園網站五個欄目的喜愛情況（規定每名學生只能選一個最喜愛的），學校隨機抽取了部分學生進行調查，將調查結果整理后繪制成如下兩幅不完整的統計圖，請結合圖中提供的信息解答下列問題：
（1）本次被調查的學生有　　人，扇形統計圖中m=　　；
（2）將條形統計圖補充完整；
（3）若該校有1800名學生，估計全校最喜愛“校長信箱”欄目的學生有多少人？
（4）若從3名最喜愛“校長信箱”欄目的學生和1名最喜愛“時事政治”欄目的學生中隨機抽取兩人參與校園網站的編輯工作，用列表或畫樹狀圖的方法求所抽取的兩人都最喜愛“校長信箱”欄目的概率．

　
四、解答題：第21題12分，第22題12分，共24分．
21．如圖，▱ABCD的對角線AC、BD相交于點O，EF過點O且與AB、CD分別相交于點E、F，連接EC．
（1）求證：OE=OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周長是10，求▱ABCD的周長．

22．如圖，△ABC中，AB=AC，點E是線段BC延長線上一點，ED⊥AB，垂足為D，ED交線段AC于點F，點O在線段EF上，⊙O經過C、E兩點，交ED于點G．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若∠E=30°，AD=1，BD=5，求⊙O的半徑．

　
五、解答題：12分．
23．某公司研發了一款成本為60元的保溫飯盒，投放市場進行試銷售，按物價部門規定，其銷售單價不低于成本，但銷售利潤不高于65%，市場調研發現，保溫飯盒每天的銷售數量y（個）與銷售單價x（元）滿足一次函數關系；當銷售單價為70元時，銷售數量為160個；當銷售單價為80元時，銷售數量為140個（利潤率=）
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）當銷售單價定為多少元時，公司每天獲得利潤最大，最大利潤為多少元？
　
六、解答題：12分．
24．如圖，某巡邏艇計劃以40海里/時的速度從A處向正東方向的D處航行，出發1.5小時到達B處時，突然接到C處的求救信號，于是巡邏艇立刻以60海里/時的速度向北偏東30°方向的C處航行，到達C處后，測得A處位于C處的南偏西60°方向，解救后巡邏艇又沿南偏東45°方向航行到D處．
（1）求巡邏艇從B處到C處用的時間．
（2）求巡邏艇實際比原計劃多航行了多少海里？（結果精確到1海里）．
（參考數據：）

　
七、解答題：12分．
25．已知，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，點P是射線CB上一點（點P不與點B、C重合），線段AP繞點A順時針旋轉90°得到線段AQ，連接QB交射線AC于點M．
（1）如圖①，當AC=BC，點P在線段CB上時，線段PB、CM的數量關系是　　；
（2）如圖②，當AC=BC，點P在線段CB的延長線時，（1）中的結論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
（3）如圖③，若，點P在線段CB的延長線上，CM=2，AP=13，求△ABP的面積．
　
八、解答題：14分．
26．如圖，直線y=?x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=?x2+bx+c經過A、B兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是第一象限拋物線上的一點，連接PA、PB、PO，若△POA的面積是△POB面積的倍．
①求點P的坐標；
②點Q為拋物線對稱軸上一點，請直接寫出QP+QA的最小值；
（3）點M為直線AB上的動點，點N為拋物線上的動點，當以點O、B、M、N為頂點的四邊形是行四邊形時，請直接寫出點M的坐標．

　

遼寧省本溪市中考數學試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．?2的絕對值是（　　）
A．?2B．?C．2D．
【考點】絕對值．
【專題】計算題．
【分析】根據負數的絕對值等于它的相反數求解．
【解答】解：因為|?2|=2，
故選C．
【點評】絕對值規律總結：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．
　
2．下列運算錯誤的是（　　）
A．?m2•m3=?m5B．?x2+2x2=x2
C．（?a3b）2=a6b2D．?2x（x?y）=?2x2?2xy
【考點】單項式乘多項式；合并同類項；同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．
【分析】計算出各個選項中式子的正確結果，然后對照，即可解答本題．
【解答】解：∵?m2•m3=?m5，故選項A正確，
∵?x2+2x2=x2，故選項B正確，
∵（?a3b）2=a6b2，故選項C正確，
∵?2x（x?y）=?2x2+2xy，故選項D錯誤，
故選D．
【點評】本題考查同底數冪的乘法、合并同類項、積的乘方、單項式乘以多項式，解題的關鍵是明確它們各自的計算方法．
　
3．下面幾何體的俯視圖是（　　）

A．B．C．D．
【考點】簡單組合體的三視圖．
【分析】根據幾何體的俯視圖是從物體上面看得到的圖形解答即可．
【解答】解：圖中幾何體的俯視圖是B在的圖形，
故選：B．
【點評】本題考查的是簡單組合體的三視圖，主視圖，左視圖與俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形．
　
4．下列圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　　）
A．B．C．D．
【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．
【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故選項正確；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項錯誤；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項錯誤；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項錯誤．
故選A．
【點評】本題主要考查對中心對稱圖形和軸對稱圖形的理解和掌握，能正確判斷一個圖形是否是中心對稱圖形和軸對稱圖形是解此題的關鍵．
　
5．7名同學每周在校體育鍛煉時間（單位：小時）分別為：7，5，8，6，9，7，8，這組數據的中位數是（　　）
A．6B．7C．7.5D．8
【考點】中位數．
【分析】求中位數可將一組數據從小到大依次排列，中間數據（或中間兩數據的均數）即為所求．
【解答】解：數據按從小到大排列后為5，6，7，7，8，8，9，
∴這組數據的中位數是7．
故選：B．
【點評】本題屬于基礎題，考查了確定一組數據的中位數的能力．將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（最中間兩個數的均數），叫做這組數據的中位數．注意找中位數的時候一定要先排好順序，然后再根據奇數和偶數個來確定中位數．如果數據有奇數個，則正中間的數字即為所求；如果是偶數，則找中間兩位數的均數．
　
6．有五張背面完全相同的卡片，正面分別寫有，（）0，，，2?2，把卡片背面朝上洗勻后，從中隨機抽取一張，其正面的數字是無理數的概率是（　　）
A．B．C．D．
【考點】概率公式；無理數；負整數指數冪．
【分析】先將給出的五個數計算，發現只有一個無理數：，求出抽到正面的數字是無理數的概率是．
【解答】解：=3，（）0=1，=2，2?2=，，
無理數為：，
所以抽到無理數的概率為：，
故選A．
【點評】本題綜合考查了無理數的定義、二次根式的化簡、負整數指數冪及概率，雖然內容較多，但難度不大；做好本題要熟知以下幾個公式：①=|a|，②a?p=（a≠0，p為整數）．
　
7．若a，且a、b是兩個連續整數，則a+b的值是（　　）
A．1B．2C．3D．4
【考點】估算無理數的大小．
【分析】根據的整數部分是2，可知0＜?2＜1，由此即可解決問題．
【解答】解：∵的整數部分是2，
∴0＜?2＜1，
∵a、b是兩個連續整數，
∴a=0，b=1，
∴a+b=1，
故選A．
【點評】本題考查估算無理數大小，學會利用逼法估算無理數大小是解題的關鍵，屬于基礎題中考常考題型．
　
8．小亮從家出發去距離9千米的姥姥家，他騎自行車前往比乘汽車多用20分鐘，乘汽車的均速度是騎自行車的3倍，設騎自行車的均速度為x千米/時，根據題意列方程得（　　）
A．B．C．D．
【考點】由實際問題抽象出分式方程．
【分析】設騎自行車的均速度為x千米/時，則乘汽車的均速度是3x千米/時，根據“騎自行車前往比乘汽車多用20分鐘”可列方程．
【解答】解：設騎自行車的均速度為x千米/時，則乘汽車的均速度是3x千米/時，
根據題意，可列方程：?=，
故選：D．
【點評】本題主要考查根據實際問題列分式方程，由實際問題抽象出分式方程的關鍵是分析題意找出相等關系，注意單位統一．
　
9．如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（?1，0），其對稱軸為直線x=1，下面結論中正確的是（　　）

A．abc＞0B．2a?b=0C．4a+2b+c＜0D．9a+3b+c=0
【考點】二次函數圖象與系數的關系．
【分析】根據二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象可判斷abc＜0，根據對稱軸為x=1可判斷出2a+b=0，當x=2時，4a+2b+c＞0，當x=3時，9a+3b+c=0
【解答】解：∵拋物線的開口向下，則a＜0，對稱軸在y軸的右側，∴b＞0，圖象與y軸交于正半軸上，
∴c＞0，∴abc＜0，：∵對稱軸為x=1，
∴x=?=1，
∴?b=2a，
∴2a+b=0，
當x=2時，4a+2b+c＞0，
當x=3時，9a+3b+c=0，
故選D．
【點評】此題主要考查了二次函數與圖象的關系，關鍵掌握二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）
①二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小．當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越小．
②一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置．當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．
　
10．如圖，點A、C為反比例函數y=圖象上的點，過點A、C分別作AB⊥x軸，CD⊥x軸，垂足分別為B、D，連接OA、AC、OC，線段OC交AB于點E，點E恰好為OC的中點，當△AEC的面積為時，k的值為（　　）

A．4B．6C．?4D．?6
【考點】反比例函數系數k的幾何意義．
【分析】設點C的坐標為（m，），則點E（m，），A（m，），根據三角形的面積公式可得出S△AEC=?k=，由此即可求出k值．
【解答】解：設點C的坐標為（m，），則點E（m，），A（m，），
∵S△AEC=BD•AE=（m?m）•（?）=?k=，
∴k=?4．
故選C．
【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是設出點C的坐標，利用點C的橫坐標表示出A、E點的坐標．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，利用反比例函數圖象上點的坐標特征表示出點的坐標是關鍵．
　
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分．
11．截止到6月，我國森林覆蓋面積約為208000000公頃，將208000000用科學記數法表示為　2.08×108　．
【考點】科學記數法?表示較大的數．
【專題】推理填空題．
【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為a×10?n，其中1≤|a|＜10，n為整數，據此判斷即可．
【解答】解：208000000=2.08×108．
故答案為：2.08×108．
【點評】此題主要考查了用科學記數法表示較大的數，一般形式為a×10?n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關鍵．
　
12．因式分解：3ax2+6ax+3a=　3a（x+1）2　．
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．
【分析】先提取公因式3a，再對余下的多項式利用完全方公式繼續分解．
【解答】解：3ax2+6ax+3a，
=3a（x2+2x+1），
=3a（x+1）2．
故答案為：3a（x+1）2．
【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．
　
13．甲、乙兩名同學投擲實心球，每人投10次，均成績為18米，方差分別為S甲2=0.1，S乙2=0.04，成績比較穩定的是　乙　（填“甲”或“乙”）．
【考點】方差．
【分析】根據方差的定義，方差越小數據越穩定即可求解．
【解答】解：因為S甲2=0.1＞S乙2=0.04，
方差小的為乙，所以本題中成績比較穩定的是乙．
故答案為乙．
【點評】本題考查了方差的意義．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離均數越小，即波動越小，數據越穩定．
　
14．已知：點A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函數y=?2x+5圖象上的兩點，當x1＞x2時，y1　＜　y2．（填“＞”、“=”或“＜”）
【考點】一次函數圖象上點的坐標特征．
【分析】由k=?2＜0根據一次函數的性質可得出該一次函數單調遞減，再根據x1＞x2，即可得出結論．
【解答】解：∵一次函數y=?2x+5中k=?2＜0，
∴該一次函數y隨x的增大而減小，
∵x1＞x2，
∴y1＜y2．
故答案為：＜．
【點評】本題考查了一次函數的性質，解題的關鍵是根據k=?2＜0得出該一次函數單調遞減．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據一次項系數的正負得出該函數的增減性是關鍵．
　
15．關于x的方程kx2?4x?4=0有兩個不相等的實數根，則k的最小整數值為　1　．
【考點】根的判別式．
【分析】根據一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到k≠0且b2?4ac＞0，然后求出兩個不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵關于x的方程kx2?4x?4=0有兩個不相等的實數根，
∴k≠0且b2?4ac＞0，即，解得k＞?1且k≠0，
∴k的最小整數值為：1．
故答案為：1．
【點評】本題考查的是根的判別式，在解答此題時要注意k≠0的條件．
16.如圖，小華把同心圓紙板掛在墻上玩飛鏢游戲（每次飛鏢均落在紙板上），已知大圓半徑為30cm，小圓半徑為20cm，則飛鏢擊中陰影區域的概率是　　．

【考點】幾何概率．
【分析】首先計算出大圓和小圓的面積，進而可得陰影部分的面積，再求出陰影部分面積與總面積之比即可得到飛鏢擊中陰影區域的概率．
【解答】解：大圓面積：π×302=900π，
小圓面積：π×202=400π，
陰影部分面積：900π?400π=500π，
飛鏢擊中陰影區域的概率：=，
故答案為：．
【點評】此題主要考查了概率，一般用陰影區域表示所求事件（A）；然后計算陰影區域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發生的概率．

17．如圖，△ABC中，AC=6，AB=4，點D與點A在直線BC的同側，且∠ACD=∠ABC，CD=2，點E是線段BC延長線上的動點，當△DCE和△ABC相似時，線段CE的長為　3或　．

【考點】相似三角形的性質．
【分析】根據題目中的條件和三角形的相似，可以求得CE的長，本題得以解決．
【解答】解：∵△DCE∽△ABC，∠ACD=∠ABC，AC=6，AB=4，CD=2，
∴∠A=∠DCE，
∴或
即或
解得，CE=3或CE=
故答案為：3或．
【點評】本題考查相似三角形的性質，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用三角形的相似解答．

18．如圖，面積為1的等腰直角△OA1A2，∠OA2A1=90°，且OA2為斜邊在△OA1A2，外作等腰直角△OA2A3，以OA3為斜邊在△OA2A3，外作等腰直角△OA3A4，以OA4為斜邊在△OA3A4，外作等腰直角△OA4A5，…連接A1A3，A3A5，A5A7，…分別與OA2，OA4，OA6，…交于點B1，B2，B3，…按此規律繼續下去，記△OB1A3的面積為S1，△OB2A5的面積為S2，△OB3A7的面積為S3，…△OBnA2n+1的面積為Sn，則Sn=　　（用含正整數n的式子表示）．

【考點】等腰直角三角形．
【專題】規律型．
【分析】先根據等腰直角三角形的定義求出∠A1OA3=∠OA3A2=90°，得A2A3∥OA1，根據同底等高的兩個三角形的面積相等得：=，所以=，同理得：A4A5∥A3O，同理得：=，根據已知的=1，求對應的直角邊和斜邊的長：OA2=A1A2=，A2A3=OA3=1，OA1=2，并利用行相似證明△A2B1A3∽△OB1A1，列比例式可以求A2B1=，根據面積公式計算S1=，同理得：S2=×，從而得出規律：Sn=Sn?1=×．
【解答】解：∵△OA1A2、△OA2A3是等腰直角三角形，
∴∠A1OA2=∠A2OA3=45°，
∴∠A1OA3=∠OA3A2=90°，
∴A2A3∥OA1，
∴=（同底等高），
∴+=+，
∴=，
同理得：A4A5∥A3O，
=，
∵=1，
∴OA2•A1A2=1，
∵OA2=A1A2，
∴OA2=A1A2=，
∴A2A3=OA3=1，OA1=2，
∵A2A3∥OA1，
∴△A2B1A3∽△OB1A1，
∴==，
∵A2O=，
∴A2B1=，
∴S1===A1A2•A2B1=××=，
同理得：OA4=A3A4==，A4A5=，
∴△A4A5B2∽△OA3B2，
∴===，
∴A4B2==×=，
∴S2===××=×，
所以得出規律：Sn=Sn?1=×，
故答案為：×．
【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，相似三角形的性質和判定以及三角形面積的計算問題，比較復雜，書寫時小下標較多，要認真書寫，先根據等腰直角三角形的面積求各邊的長，利用同底等高的三角形面積相等將所求的三角形進行轉化，從而解決問題，并發現規律．
　
三、解答題：第19題10分，第20題12分，共22分．
19．先化簡，再求值：
（），請在?3，0，1，3中選擇一個適當的數作為x值．
【考點】分式的化簡求值．
【專題】計算題．
【分析】先把括號內通分，再把分子分母因式分解和除法運算化為乘法運算，然后約分得到原式=3x+15，再根據分式有意義的條件把x=1代入計算即可．
【解答】解：原式=•
=•
=3x+15，
當x=1時，原式=3+15=18．
【點評】本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數對應的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式．
　
20．為了解學生對校園網站五個欄目的喜愛情況（規定每名學生只能選一個最喜愛的），學校隨機抽取了部分學生進行調查，將調查結果整理后繪制成如下兩幅不完整的統計圖，請結合圖中提供的信息解答下列問題：
（1）本次被調查的學生有　200　人，扇形統計圖中m=　30%　；
（2）將條形統計圖補充完整；
（3）若該校有1800名學生，估計全校最喜愛“校長信箱”欄目的學生有多少人？
（4）若從3名最喜愛“校長信箱”欄目的學生和1名最喜愛“時事政治”欄目的學生中隨機抽取兩人參與校園網站的編輯工作，用列表或畫樹狀圖的方法求所抽取的兩人都最喜愛“校長信箱”欄目的概率．

【考點】列表法與樹狀圖法；用樣本估計總體；扇形統計圖；條形統計圖．
【專題】數形結合．
【分析】（1）用A類人數除以它所占的百分比可得到調查的總人數，然后用B類人數除以總人數可得到m的值；
（2）先計算出C類人數，然后補全條形統計圖；
（3）用1800乘以樣本中B類人數所占的百分比即可；
（4）畫樹狀圖展示12種等可能的結果數，再找出所抽取的兩人都最喜愛“校長信箱”欄目的結果數，然后根據概率公式求解．
【解答】解：（1）本次被調查的學生數為30÷15%=200（人），扇形統計圖中m=×100%=30%；
故答案為200，30%；
（2）C類人數=200×25%=50（人），
條形統計圖補充為：

（3）1800×30%=540，
所以估計全校最喜愛“校長信箱”欄目的學生有540人；
（4）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結果數，其中所抽取的兩人都最喜愛“校長信箱”欄目的結果數為6，
所以所抽取的兩人都最喜愛“校長信箱”欄目的概率==．
【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后根據概率公式求出事件A或B的概率．也考查了統計圖．
　
四、解答題：第21題12分，第22題12分，共24分．
21．如圖，▱ABCD的對角線AC、BD相交于點O，EF過點O且與AB、CD分別相交于點E、F，連接EC．
（1）求證：OE=OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周長是10，求▱ABCD的周長．

【考點】行四邊形的性質．
【分析】根據行四邊形的性質得出OD=OB，DC∥AB，推出∠FDO=∠EBO，證出△DFO≌△BEO即可；
（2）由行四邊形的性質得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，由線段垂直分線的性質得出AE=CE，由已知條件得出BC+AB=10，即可得出▱ABCD的周長．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是行四邊形，
∴OD=OB，DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE=OF．
（2）解：∵四邊形ABCD是行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，
∵EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵△BEC的周長是10，
∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，
∴▱ABCD的周長=2（BC+AB）=20．
【點評】本題考查了行四邊形的性質，行線的性質，全等三角形的性質和判定、線段垂直分線的性質；熟練掌握行四邊形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．
　
22．如圖，△ABC中，AB=AC，點E是線段BC延長線上一點，ED⊥AB，垂足為D，ED交線段AC于點F，點O在線段EF上，⊙O經過C、E兩點，交ED于點G．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若∠E=30°，AD=1，BD=5，求⊙O的半徑．

【考點】切線的判定；等腰三角形的性質．
【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到∠B=∠ACB，∠OCE=∠E，推出∠ACO=90°，根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）根據已知條件得到∠CFO=30°，解直角三角形得到DF==，EF=3OE=4，即可得到結論．
【解答】（1）證明：連接CO，如圖：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠E，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE=90°，
∴∠B+∠E=90°，
∴∠ACB+∠OCE=90°，
∴∠ACO=90°，
∴AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：∵∠E=30°，
∴∠OCE=30°，
∴∠FCE=120°，
∴∠CFO=30°，
∴∠AFD=∠CFO=30°，
∴DF==，
∵BD=5，∴DE=5，
∵OF=2OC，
∴EF=3OE=4，
∴OE=，
即⊙O的半徑=．

【點評】本題考查了切線的判定，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握切線的判定定理是解題的關鍵．
　
五、解答題：12分．
23．某公司研發了一款成本為60元的保溫飯盒，投放市場進行試銷售，按物價部門規定，其銷售單價不低于成本，但銷售利潤不高于65%，市場調研發現，保溫飯盒每天的銷售數量y（個）與銷售單價x（元）滿足一次函數關系；當銷售單價為70元時，銷售數量為160個；當銷售單價為80元時，銷售數量為140個（利潤率=）
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）當銷售單價定為多少元時，公司每天獲得利潤最大，最大利潤為多少元？
【考點】二次函數的應用；一元一次不等式組的應用．
【分析】（1）根據待定系數法可求y與x之間的函數關系式；
（2）利潤=銷售總價?成本總價=單件利潤×銷售量．據此得表達式，運用性質求最值．
【解答】解：（1）設這個一次函數為y=kx+b（k≠0）
∵這個一次函數的圖象經過（70，160），（80，140）這兩點，
∴，
解得．
∴函數關系式是：y=?2x+300（60≤x≤99）
（2）當銷售單價定為x元時，公司每天獲得利潤最大為W元，依題意得
W=（x?60）（?2x+300）
=?2（x2?210x+9000）
=?2（x?105）2+4050（60≤x≤99），
∴當x=99時，W有最大值3978．
當銷售單價定為99元時，公司每天獲得利潤最大，最大利潤為3978元．
【點評】此題考查二次函數的實際運用，掌握銷售問題中的基本數量關系得出函數解析式是解決問題的關鍵．
　
六、解答題：12分．
24．如圖，某巡邏艇計劃以40海里/時的速度從A處向正東方向的D處航行，出發1.5小時到達B處時，突然接到C處的求救信號，于是巡邏艇立刻以60海里/時的速度向北偏東30°方向的C處航行，到達C處后，測得A處位于C處的南偏西60°方向，解救后巡邏艇又沿南偏東45°方向航行到D處．
（1）求巡邏艇從B處到C處用的時間．
（2）求巡邏艇實際比原計劃多航行了多少海里？（結果精確到1海里）．
（參考數據：）

【考點】解直角三角形的應用-方向角問題．
【分析】（1）求出BC的長，即路程，則時間=，代入計算；
（2）原計劃的路程為：AD的長，實際的路程為：AB+BC+CD，相減即可．
【解答】解：（1）如圖所示，
AB=1.5×40=60，
∵BE∥CF，
∴∠BCF=∠EBC=30°，
在Rt△AFC中，∵∠ACF=60°，
∴∠A=90°?60°=30°，
設BF=x，則BC=2x，CF=x，
tan∠A=，
∴BE=tan30°•AB=×60=20，
∵BE∥CF，
∴，
∴20（60+x）=60×x，
解得：x=30，
∴BC=2x=60，
t==1，
答：巡邏艇從B處到C處用的時間為1小時；
（2）∵∠FCD=45°，∠CFD=90°，
∴△CFD是等腰直角三角形，
∴FC=FD=x=30，
∴CD=FC=30，
則AB+BC+CD?（AB+BF+FD），
=BC+CD?BF?FD，
=60+30?30?30，
=30+30?30，
=30×（1+2.45?1.73），
≈52，
答：巡邏艇實際比原計劃多航行了52海里．

【點評】本題是解直角三角形的應用，考查了方向角問題；這在解直角三角形中是一個難點，要知道已知和所求的方向角的位置：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉相應度數；在解決有關方向角的問題中，一般要根據題意理清圖形中各角的關系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線行內錯角相等或一個角的余角等知識轉化為所需要的角．
　
七、解答題：12分．
25．已知，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，點P是射線CB上一點（點P不與點B、C重合），線段AP繞點A順時針旋轉90°得到線段AQ，連接QB交射線AC于點M．
（1）如圖①，當AC=BC，點P在線段CB上時，線段PB、CM的數量關系是　PB=2CM　；
（2）如圖②，當AC=BC，點P在線段CB的延長線時，（1）中的結論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
（3）如圖③，若，點P在線段CB的延長線上，CM=2，AP=13，求△ABP的面積．
【考點】幾何變換綜合題．
【分析】（1）作出△ABC繞點A順時針旋轉90°，利用旋轉的性質，和等腰三角形的性質再用中位線即可；
（2）作出△ABC繞點A順時針旋轉90°，利用旋轉的性質，和等腰三角形的性質，再用中位線即可；
（3）同（1）（2）的方法作出輔助線，利用行線中的基本圖形“A”得出比例式，用勾股定理求出x，最后用三角形的面積公式即可．
【解答】解：（1）如圖1，

將△ABC繞點A順時針旋轉90°，得到△AB'C'，
∴B'Q=BP，AB'=AB，
連接BB'，
∵AC⊥BC，
∴點C在BB'上，且CB'=CB，
依題意得，∠C'B'B=90°，
∴CM∥B'C'，而CB'=CB，
∴2CM=B'Q，
∵BP=B'Q，
∴BP=2CM，
故答案為：BP=2CM；
（2）BP=2CM仍然成立，
理由：如圖2，

將△ABC繞點A順時針旋轉90°，得到△AB'C'，連接B'Q，
∴B'Q=BP，AB'=AB，
連接BB'，
∵AC⊥BC，
∴點C在BB'上，且CB'=CB，
依題意得，∠C'B'B=90°，
∴CM∥B'C'，而CB'=CB，
∴2CM=B'Q，
∵BP=B'Q，
∴BP=2CM，
（3）如圖3，

設BC=2x，則AC=5x，
將△ABC繞點A順時針旋轉90°，得到△AB'C'，連接B'Q，
∴BC=B'C'，B'Q=BP，AC=AC'
延長BC交C'Q于N，
∴四邊形ACNC'是正方形，
∴C'N=CN=AC=5x，
∴BN=CN+BC=7x
∵CM∥QN，
∴
∵CM=2，
∴
∴QN=7，
∴BP=B'Q=C'N+QN?B'C'=5x+7?2x=3x+7，
∴PC=BC+BP=2x+3x+7=5x+7，
在Rt△ACP中，AC=5x，PC=5x+7，AP=13，
根據勾股定理得，（5x）2+（5x+7）2=132
∴x=1或x=?（舍），
∴BP=3x+7=10，AC=5x=5，
∴S△ABP=BP×AC=×10×5=25，
【點評】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形和直角三角形的性質，旋轉的性質，中位線的性質，解本題的關鍵是作出輔助線，也是本題的難點．
　
八、解答題：14分．
26．如圖，直線y=?x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=?x2+bx+c經過A、B兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是第一象限拋物線上的一點，連接PA、PB、PO，若△POA的面積是△POB面積的倍．
①求點P的坐標；
②點Q為拋物線對稱軸上一點，請直接寫出QP+QA的最小值；
（3）點M為直線AB上的動點，點N為拋物線上的動點，當以點O、B、M、N為頂點的四邊形是行四邊形時，請直接寫出點M的坐標．

【考點】二次函數綜合題．
【分析】（1）先確定出點A，B坐標，再用待定系數法求出拋物線解析式；
（2）設出點P的坐標，①用△POA的面積是△POB面積的倍，建立方程求解即可；②利用對稱性找到最小線段，用兩點間距離公式求解即可；
（3）分OB為邊和為對角線兩種情況進行求解，①當OB為行四邊形的邊時，用MN∥OB，表示和用MN=OB，建立方程求解；
②當OB為對角線時，OB與MN互相分，交點為H，設出M，N坐標用OH=BH，MH=NH，建立方程組求解即可．
【解答】解：（1）∵直線y=?x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴A（2，0），B（0，1），
∵拋物線y=?x2+bx+c經過A、B兩點，
∴，
∴
∴拋物線解析式為y=?x2+x+1，
（2）①由（1）知，A（2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
由（1）知，拋物線解析式為y=?x2+x+1，
∵點P是第一象限拋物線上的一點，
∴設P（a，?a2+a+1），（（a＞0，?a2+a+1＞0），
∴S△POA=OA×Py=×2×（?a2+a+1）=?a2+a+1
S△POB=OB×Px=×1×a=a
∵△POA的面積是△POB面積的倍．
∴?a2+a+1=×a，
∴a=或a=?（舍）
∴P（，1）；
②如圖1，

由（1）知，拋物線解析式為y=?x2+x+1，
∴拋物線的對稱軸為x=，拋物線與x軸的另一交點為C（?，0），
∵點A與點C關于對稱軸對稱，
∴QP+QA的最小值就是PC=；
（3）①當OB為行四邊形的邊時，MN=OB=1，MN∥OB，
∵點N在直線AB上，
∴設M（m，?m+1），
∴N（m，?m2+m+1），
∴MN=|?m2+m+1?（?m+1）|=|m2?2m|=1，
Ⅰ、m2?2m=1，
解得，m=1±，
∴M（1+，（1?））或M（1?，（1+））
Ⅱ、m2?2m=?1，
解得，m=1，
∴M（1，）；
②當OB為對角線時，OB與MN互相分，交點為H，
∴OH=BH，MH=NH，
∵B（0，1），O（0，0），
∴H（0，），
設M（n，?n+1），N（d，?d2+d+1）
∴，
∴或，
∴M（?（1+），（3+））或M（?（1?），（3?））；
即：滿足條件的點M的坐標（1+，（1?））或（1?，?（1+））或（1，）或M（?（1+），（3+））或M（?（1?），（3?））；
【點評】此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，三角形的面積，行四邊形的性質，對稱性，解本題的關鍵是求拋物線解析式，確定最小值和點M坐標時，分類討論是解本題的難點．