2017年菏澤中考數學試卷答案解析及word文字版下載(難度系數點評)
一、選擇題(本大題共8個小題,每小題3分,共24分,在每小題給出的四個選項A、B、C、D中,只有一個選項是正確的,請把正確的選項涂在答題卡相應位置)
1.下列各對數是互為倒數的是( )
A.4和?4B.?3和C.?2和D.0和0
2.以下微信圖標不是軸對稱圖形的是( )
A.B.C.D.
3.如圖所示,該幾何體的俯視圖是( )
A.B.C.D.
4.當1<a<2時,代數式|a?2|+|1?a|的值是( )
A.?1B.1C.3D.?3
5.如圖,A,B的坐標為(2,0),(0,1),若將線段AB移至A1B1,則a+b的值為( )
A.2B.3C.4D.5
6.在▱ABCD中,AB=3,BC=4,當▱ABCD的面積最大時,下列結論正確的有( )
①AC=5;②∠A+∠C=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.
A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④
7.如圖,△ABC與△A′B′C′都是等腰三角形,且AB=AC=5,A′B′=A′C′=3,若∠B+∠B′=90°,則△ABC與△A′B′C′的面積比為( )
A.25:9B.5:3C.:D.5:3
8.如圖,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90°,反比例函數y=在第一象限的圖象經過點B,則△OAC與△BAD的面積之差S△OAC?S△BAD為( )
A.36B.12C.6D.3
二、填空題(本大題共6個小題,每小題3分,共18分,只要求把最后結果填寫在答題卡的相應區域內)
9.春節期間,在網絡上用“百度”搜索引擎搜索“開放二孩”,能搜索到與之相關的結果個數約為45100000,這個數用科學記數法表示為 .
10.如圖,將一副三角板和一張對邊行的紙條按下列方式擺放,兩個三角板的一直角邊重合,含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合,含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上,則∠1的度數是 .
11.某校九年級(1)班40名同學中,14歲的有1人,15歲的有21人,16歲的有16人,17歲的有2人,則這個班同學年齡的中位數是 歲.
12.已知m是關于x的方程x2?2x?3=0的一個根,則2m2?4m= .
13.如圖,在正方形ABCD外作等腰直角△CDE,DE=CE,連接BE,則tan∠EBC= .
14.如圖,一段拋物線:y=?x(x?2)(0≤x≤2)記為C1,它與x軸交于兩點O,A1;將C1繞A1旋轉180°得到C2,交x軸于A2;將C2繞A2旋轉180°得到C3,交x軸于A3;…如此進行下去,直至得到C6,若點P(11,m)在第6段拋物線C6上,則m= .
三、解答題(本題共78分,把解答和證明過程寫在答題卡的相應區域內)
15.計算:2?2?2cos60°+|?|+(π?3.14)0.
16.已知4x=3y,求代數式(x?2y)2?(x?y)(x+y)?2y2的值.
17.南沙群島是我國固有領土,現在我南海漁民要在南沙某海島附進行捕魚作業,當漁船航行至B處時,測得該島位于正北方向20(1+)海里的C處,為了防止某國還巡警干擾,就請求我A處的魚監船前往C處護航,已知C位于A處的北偏東45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之間的距離.
18.列方程或方程組解應用題:
為了響應“十三五”規劃中提出的綠色環保的倡議,某校文印室提出了每個人都踐行“雙面打印,節約用紙”.已知打印一份資料,如果用A4厚型紙單面打印,總質量為400克,將其全部改成雙面打印,用紙將減少一半;如果用A4薄型紙雙面打印,這份資料的總質量為160克,已知每頁薄型紙比厚型紙輕0.8克,求A4薄型紙每頁的質量.(墨的質量忽略不計)
19.如圖,點O是△ABC內一點,連結OB、OC,并將AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連結,得到四邊形DEFG.
(1)求證:四邊形DEFG是行四邊形;
(2)若M為EF的中點,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的長度.
20.如圖,在面直角坐標系xOy中,雙曲線y=與直線y=?2x+2交于點A(?1,a).
(1)求a,m的值;
(2)求該雙曲線與直線y=?2x+2另一個交點B的坐標.
21.如圖,直角△ABC內接于⊙O,點D是直角△ABC斜邊AB上的一點,過點D作AB的垂線交AC于E,過點C作∠ECP=∠AED,CP交DE的延長線于點P,連結PO交⊙O于點F.
(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)若PC=3,PF=1,求AB的長.
22.銳銳參加我市電視臺組織的“牡丹杯”智力競答節目,答對最后兩道單選題就順利通關,第一道單選題有3個選項,第二道單選題有4個選項,這兩道題銳銳都不會,不過銳銳還有兩個“求助”可以用(使用“求助”一次可以讓主持人去掉其中一題的一個錯誤選項).
(1)如果銳銳兩次“求助”都在第一道題中使用,那么銳銳通關的概率是 .
(2)如果銳銳兩次“求助”都在第二道題中使用,那么銳銳通關的概率是 .
(3)如果銳銳將每道題各用一次“求助”,請用樹狀圖或者列表來分析他順序通關的概率.
23.如圖,△ACB和△DCE均為等腰三角形,點A,D,E在同一直線上,連接BE.
(1)如圖1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求證:AD=BE;
②求∠AEB的度數.
(2)如圖2,若∠ACB=∠DCE=120°,CM為△DCE中DE邊上的高,BN為△ABE中AE邊上的高,試證明:AE=2CM+BN.
24.在面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+2過B(?2,6),C(2,2)兩點.
(1)試求拋物線的解析式;
(2)記拋物線頂點為D,求△BCD的面積;
(3)若直線y=?x向上移b個單位所得的直線與拋物線段BDC(包括端點B、C)部分有兩個交點,求b的取值范圍.
山東省菏澤市中考數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共8個小題,每小題3分,共24分,在每小題給出的四個選項A、B、C、D中,只有一個選項是正確的,請把正確的選項涂在答題卡相應位置)
1.下列各對數是互為倒數的是( )
A.4和?4B.?3和C.?2和D.0和0
【考點】倒數.
【分析】根據倒數的定義可知,乘積是1的兩個數互為倒數,據此求解即可.
【解答】解:A、4×(?4)≠1,選項錯誤;
B、?3×≠1,選項錯誤;
C、?2×(?)=1,選項正確;
D、0×0≠1,選項錯誤.
故選C.
【點評】主要考查了倒數的定義:若兩個數的乘積是1,我們就稱這兩個數互為倒數.要求掌握并熟練運用.
2.以下微信圖標不是軸對稱圖形的是( )
A.B.C.D.
【考點】軸對稱圖形.
【分析】根據軸對稱圖形的概念求解,看圖形是不是關于直線對稱.
【解答】解:A、是軸對稱圖形;
B、是軸對稱圖形;
C、是軸對稱圖形;
D、不是軸對稱圖形.
故選D.
【點評】本題主要考查了軸對稱的概念,軸對稱的關鍵是尋找對稱軸,兩邊圖象折疊后可重合.
3.如圖所示,該幾何體的俯視圖是( )
A.B.C.D.
【考點】簡單組合體的三視圖.
【分析】根據俯視圖是從物體的上面看得到的視圖進行解答即可.
【解答】解:從上往下看,可以看到選項C所示的圖形.
故選:C.
【點評】本題考查了三視圖的知識,掌握俯視圖是從物體的上面看得到的視圖是解題的關鍵.
4.當1<a<2時,代數式|a?2|+|1?a|的值是( )
A.?1B.1C.3D.?3
【考點】代數式求值;絕對值.
【專題】計算題.
【分析】根據a的取值范圍,先去絕對值符號,再計算求值.
【解答】解:當1<a<2時,
|a?2|+|1?a|=2?a+a?1=1.
故選:B.
【點評】此題考查的知識點是代數式求值及絕對值,關鍵是根據a的取值,先去絕對值符號.
5.如圖,A,B的坐標為(2,0),(0,1),若將線段AB移至A1B1,則a+b的值為( )
A.2B.3C.4D.5
【考點】坐標與圖形變化-移.
【分析】直接利用移中點的變化規律求解即可.
【解答】解:由B點移前后的縱坐標分別為1、2,可得B點向上移了1個單位,
由A點移前后的橫坐標分別是為2、3,可得A點向右移了1個單位,
由此得線段AB的移的過程是:向上移1個單位,再向右移1個單位,
所以點A、B均按此規律移,
由此可得a=0+1=1,b=0+1=1,
故a+b=2.
故選:A.
【點評】本題考查了坐標系中點、線段的移規律,在面直角坐標系中,圖形的移與圖形上某點的移相同.移中點的變化規律是:橫坐標右移加,左移減;縱坐標上移加,下移減.
6.在▱ABCD中,AB=3,BC=4,當▱ABCD的面積最大時,下列結論正確的有( )
①AC=5;②∠A+∠C=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.
A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④
【考點】行四邊形的性質.
【分析】當▱ABCD的面積最大時,四邊形ABCD為矩形,得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AC=BD,根據勾股定理求出AC,即可得出結論.
【解答】解:根據題意得:當▱ABCD的面積最大時,四邊形ABCD為矩形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AC=BD,
∴AC==5,
①正確,②正確,④正確;③不正確;
故選:B.
【點評】本題考查了行四邊形的性質、矩形的性質以及勾股定理;得出▱ABCD的面積最大時,四邊形ABCD為矩形是解決問題的關鍵.
7.如圖,△ABC與△A′B′C′都是等腰三角形,且AB=AC=5,A′B′=A′C′=3,若∠B+∠B′=90°,則△ABC與△A′B′C′的面積比為( )
A.25:9B.5:3C.:D.5:3
【考點】互余兩角三角函數的關系.
【分析】先根據等腰三角形的性質得到∠B=∠C,∠B′=∠C′,根據三角函數的定義得到AD=AB•sinB,A′D′=A′B′•sinB′,BC=2BD=2AB•cosB,B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′,然后根據三角形面積公式即可得到結論.
【解答】解:過A作AD⊥BC于D,過A′作A′D′⊥B′C′于D′,
∵△ABC與△A′B′C′都是等腰三角形,
∴∠B=∠C,∠B′=∠C′,BC=2BD,B′C′=2B′D′,
∴AD=AB•sinB,A′D′=A′B′•sinB′,BC=2BD=2AB•cosB,B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′,
∵∠B+∠B′=90°,
∴sinB=cosB′,sinB′=cosB,
∵S△BAC=AD•BC=AB•sinB•2AB•cosB=25sinB•cosB,
S△A′B′C′=A′D′•B′C′=A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′=9sinB′•cosB′,
∴S△BAC:S△A′B′C′=25:9.
故選A.
【點評】本題考查了互余兩角的關系,解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.也考查了等腰三角形的性質和三角形面積公式.
8.如圖,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90°,反比例函數y=在第一象限的圖象經過點B,則△OAC與△BAD的面積之差S△OAC?S△BAD為( )
A.36B.12C.6D.3
【考點】反比例函數系數k的幾何意義;等腰直角三角形.
【分析】設△OAC和△BAD的直角邊長分別為a、b,結合等腰直角三角形的性質及圖象可得出點B的坐標,根據三角形的面積公式結合反比例函數系數k的幾何意義以及點B的坐標即可得出結論.
【解答】解:設△OAC和△BAD的直角邊長分別為a、b,
則點B的坐標為(a+b,a?b).
∵點B在反比例函數y=的第一象限圖象上,
∴(a+b)×(a?b)=a2?b2=6.
∴S△OAC?S△BAD=a2?b2=(a2?b2)=×6=3.
故選D.
【點評】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義、等腰三角形的性質以及面積公式,解題的關鍵是找出a2?b2的值.本題屬于基礎題,難度不大,解決該題型題目時,設出等腰直角三角形的直角邊,用其表示出反比例函數上點的坐標是關鍵.
二、填空題(本大題共6個小題,每小題3分,共18分,只要求把最后結果填寫在答題卡的相應區域內)
9.春節期間,在網絡上用“百度”搜索引擎搜索“開放二孩”,能搜索到與之相關的結果個數約為45100000,這個數用科學記數法表示為 4.51×107 .
【考點】科學記數法?表示較大的數.
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數.確定n的值是易錯點,由于45100000有8位,所以可以確定n=8?1=7.
【解答】解:45100000這個數用科學記數法表示為4.51×107.
故答案為:4.51×107.
【點評】此題考查科學記數法表示較大的數的方法,準確確定a與n值是關鍵.
10.如圖,將一副三角板和一張對邊行的紙條按下列方式擺放,兩個三角板的一直角邊重合,含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合,含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上,則∠1的度數是 15° .
【考點】行線的性質.
【專題】計算題.
【分析】過A點作AB∥a,利用行線的性質得AB∥b,所以∠1=∠2,∠3=∠4=30°,加上∠2+∠3=45°,易得∠1=15°.
【解答】解:如圖,過A點作AB∥a,
∴∠1=∠2,
∵a∥b,
∴AB∥b,
∴∠3=∠4=30°,
而∠2+∠3=45°,
∴∠2=15°,
∴∠1=15°.
故答案為15°.
【點評】本題考查了行線的性質:兩直線行,內錯角相等.
11.某校九年級(1)班40名同學中,14歲的有1人,15歲的有21人,16歲的有16人,17歲的有2人,則這個班同學年齡的中位數是 15 歲.
【考點】中位數.
【分析】根據中位數的定義找出第20和21個數的均數,即可得出答案.
【解答】解:∵該班有40名同學,
∴這個班同學年齡的中位數是第20和21個數的均數,
∵15歲的有21人,
∴這個班同學年齡的中位數是15歲;
故答案為:15.
【點評】此題考查了中位數,中位數是將一組數據從小到大(或從大到小)重新排列后,最中間的那個數(最中間兩個數的均數),熟練掌握中位數的定義是本題的關鍵.
12.已知m是關于x的方程x2?2x?3=0的一個根,則2m2?4m= 6 .
【考點】一元二次方程的解.
【專題】推理填空題.
【分析】根據m是關于x的方程x2?2x?3=0的一個根,通過變形可以得到2m2?4m值,本題得以解決.
【解答】解:∵m是關于x的方程x2?2x?3=0的一個根,
∴m2?2m?3=0,
∴m2?2m=3,
∴2m2?4m=6,
故答案為:6.
【點評】本題考查一元二次方程的解,解題的關鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件.
13.如圖,在正方形ABCD外作等腰直角△CDE,DE=CE,連接BE,則tan∠EBC= .
【考點】正方形的性質;等腰直角三角形;解直角三角形.
【專題】計算題.
【分析】作EF⊥BC于F,如圖,設DE=CE=a,根據等腰直角三角形的性質得CD=CE=a,∠DCE=45°,再利用正方形的性質得CB=CD=a,∠BCD=90°,接著判斷△CEF為等腰直角三角形得到CF=EF=CE=a,然后在Rt△BEF中根據正切的定義求解.
【解答】解:作EF⊥BC于F,如圖,設DE=CE=a,
∵△CDE為等腰直角三角形,
∴CD=CE=a,∠DCE=45°,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴CB=CD=a,∠BCD=90°,
∴∠ECF=45°,
∴△CEF為等腰直角三角形,
∴CF=EF=CE=a,
在Rt△BEF中,tan∠EBF===,
即∠EBC=.
故答案為.
【點評】本題考查了正方形的性質:正方形的四條邊都相等,四個角都是直角;正方形的兩條對角線相等,互相垂直分,并且每條對角線分一組對角;正方形具有四邊形、行四邊形、矩形、菱形的一切性質.也考查了等腰直角三角形的性質.
14.如圖,一段拋物線:y=?x(x?2)(0≤x≤2)記為C1,它與x軸交于兩點O,A1;將C1繞A1旋轉180°得到C2,交x軸于A2;將C2繞A2旋轉180°得到C3,交x軸于A3;…如此進行下去,直至得到C6,若點P(11,m)在第6段拋物線C6上,則m= ?1 .
【考點】二次函數圖象與幾何變換;拋物線與x軸的交點.
【專題】規律型.
【分析】將這段拋物線C1通過配方法求出頂點坐標及拋物線與x軸的交點,由旋轉的性質可以知道C1與C2的頂點到x軸的距離相等,且OA1=A1A2,照此類推可以推導知道點P(11,m)為拋物線C6的頂點,從而得到結果.
【解答】解:∵y=?x(x?2)(0≤x≤2),
∴配方可得y=?(x?1)2+1(0≤x≤2),
∴頂點坐標為(1,1),
∴A1坐標為(2,0)
∵C2由C1旋轉得到,
∴OA1=A1A2,即C2頂點坐標為(3,?1),A2(4,0);
照此類推可得,C3頂點坐標為(5,1),A3(6,0);
C4頂點坐標為(7,?1),A4(8,0);
C5頂點坐標為(9,1),A5(10,0);
C6頂點坐標為(11,?1),A6(12,0);
∴m=?1.
故答案為:?1.
【點評】本題考查了二次函數的性質及旋轉的性質,解題的關鍵是求出拋物線的頂點坐標.
三、解答題(本題共78分,把解答和證明過程寫在答題卡的相應區域內)
15.計算:2?2?2cos60°+|?|+(π?3.14)0.
【考點】實數的運算;零指數冪;負整數指數冪;特殊角的三角函數值.
【專題】計算題;實數.
【分析】原式利用負整數指數冪法則,特殊角的三角函數值,絕對值的代數意義,以及零指數冪法則計算即可得到結果.
【解答】解:原式=?2×+2+1
=+2.
【點評】此題考查了實數的運算,熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
16.已知4x=3y,求代數式(x?2y)2?(x?y)(x+y)?2y2的值.
【考點】整式的混合運算?化簡求值.
【分析】首先利用方差公式和完全方公式計算,進一步合并,最后代入求得答案即可.
【解答】解:(x?2y)2?(x?y)(x+y)?2y2
=x2?4xy+4y2?(x2?y2)?2y2
=?4xy+3y2
=?y(4x?3y).
∵4x=3y,
∴原式=0.
【點評】此題考查整式的化簡求值,注意先化簡,再代入求得數值即可.
17.南沙群島是我國固有領土,現在我南海漁民要在南沙某海島附進行捕魚作業,當漁船航行至B處時,測得該島位于正北方向20(1+)海里的C處,為了防止某國還巡警干擾,就請求我A處的魚監船前往C處護航,已知C位于A處的北偏東45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之間的距離.
【考點】解直角三角形的應用-方向角問題.
【分析】作AD⊥BC,垂足為D,設CD=x,利用解直角三角形的知識,可得出AD,繼而可得出BD,結合題意BC=CD+BD可得出方程,解出x的值后即可得出答案.
【解答】解:如圖,作AD⊥BC,垂足為D,
由題意得,∠ACD=45°,∠ABD=30°.
設CD=x,在Rt△ACD中,可得AD=x,
在Rt△ABD中,可得BD=x,
又∵BC=20(1+),CD+BD=BC,
即x+x=20(1+),
解得:x=20,
∴AC=x=20(海里).
答:A、C之間的距離為20海里.
【點評】此題考查了解直角三角形的應用,解答本題的關鍵是根據題意構造直角三角形,將實際問題轉化為數學模型進行求解,難度一般.
18.列方程或方程組解應用題:
為了響應“十三五”規劃中提出的綠色環保的倡議,某校文印室提出了每個人都踐行“雙面打印,節約用紙”.已知打印一份資料,如果用A4厚型紙單面打印,總質量為400克,將其全部改成雙面打印,用紙將減少一半;如果用A4薄型紙雙面打印,這份資料的總質量為160克,已知每頁薄型紙比厚型紙輕0.8克,求A4薄型紙每頁的質量.(墨的質量忽略不計)
【考點】分式方程的應用.
【分析】設A4薄型紙每頁的質量為x克,則A4厚型紙每頁的質量為(x+0.8)克,然后根據“雙面打印,用紙將減少一半”列方程,然后解方程即可.
【解答】解:設A4薄型紙每頁的質量為x克,則A4厚型紙每頁的質量為(x+0.8)克,
根據題意,得:=2×,
解得:x=3.2,
經檢驗:x=3.2是原分式方程的解,且符合題意,
答:A4薄型紙每頁的質量為3.2克.
【點評】本題主要考查分式方程的應用,根據題意準確找到相等關系并據此列出方程是解題的關鍵.
19.如圖,點O是△ABC內一點,連結OB、OC,并將AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連結,得到四邊形DEFG.
(1)求證:四邊形DEFG是行四邊形;
(2)若M為EF的中點,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的長度.
【考點】行四邊形的判定與性質.
【分析】(1)根據三角形的中位線行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF∥BC且EF=BC,DG∥BC且DG=BC,從而得到DE=EF,DG∥EF,再利用一組對邊行且相等的四邊形是行四邊形證明即可;
(2)先判斷出∠BOC=90°,再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,求出EF即可.
【解答】解:(1)∵D、G分別是AB、AC的中點,
∴DG∥BC,DG=BC,
∵E、F分別是OB、OC的中點,
∴EF∥BC,EF=BC,
∴DE=EF,DG∥EF,
∴四邊形DEFG是行四邊形;
(2)∵∠OBC和∠OCB互余,
∴∠OBC+∠OCB=90°,
∴∠BOC=90°,
∵M為EF的中點,OM=3,
∴EF=2OM=6.
由(1)有四邊形DEFG是行四邊形,
∴DG=EF=6.
【點評】此題是行四邊形的判定與性質題,主要考查了行四邊形的判定和性質,三角形的中位線,直角三角形的性質,解本題的關鍵是判定四邊形DEFG是行四邊形.
20.如圖,在面直角坐標系xOy中,雙曲線y=與直線y=?2x+2交于點A(?1,a).
(1)求a,m的值;
(2)求該雙曲線與直線y=?2x+2另一個交點B的坐標.
【考點】反比例函數與一次函數的交點問題.
【分析】(1)將A坐標代入一次函數解析式中即可求得a的值,將A(?1,4)坐標代入反比例解析式中即可求得m的值;
(2)解方程組,即可解答.
【解答】解:(1)∵點A的坐標是(?1,a),在直線y=?2x+2上,
∴a=?2×(?1)+2=4,
∴點A的坐標是(?1,4),代入反比例函數y=,
∴m=?4.
(2)解方程組
解得:或,
∴該雙曲線與直線y=?2x+2另一個交點B的坐標為(2,?2).
【點評】此題考查了一次函數與反比例函數的交點問題,涉及的知識有:反比例函數的圖象上點的坐標特征,待定系數法確定函數解析式,熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵.
21.如圖,直角△ABC內接于⊙O,點D是直角△ABC斜邊AB上的一點,過點D作AB的垂線交AC于E,過點C作∠ECP=∠AED,CP交DE的延長線于點P,連結PO交⊙O于點F.
(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)若PC=3,PF=1,求AB的長.
【考點】切線的判定;切割線定理.
【分析】(1)連接OC,欲證明PC是⊙O的切線,只要證明PC⊥OC即可.
(2)延長PO交圓于G點,由切割線定理求出PG即可解決問題.
【解答】解:(1)如圖,連接OC,
∵PD⊥AB,
∴∠ADE=90°,
∵∠ECP=∠AED,
又∵∠EAD=∠ACO,
∴∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90°,
∴PC⊥OC,
∴PC是⊙O切線.
(2)延長PO交圓于G點,
∵PF×PG=PC2,PC=3,PF=1,
∴PG=9,
∴FG=9?1=8,
∴AB=FG=8.
【點評】本題考查切線的判定、切割線定理、等角的余角相等等知識,解題的關鍵是熟練運用這些知識解決問題,學會添加常用輔助線,屬于中考常考題型.
22.銳銳參加我市電視臺組織的“牡丹杯”智力競答節目,答對最后兩道單選題就順利通關,第一道單選題有3個選項,第二道單選題有4個選項,這兩道題銳銳都不會,不過銳銳還有兩個“求助”可以用(使用“求助”一次可以讓主持人去掉其中一題的一個錯誤選項).
(1)如果銳銳兩次“求助”都在第一道題中使用,那么銳銳通關的概率是 .
(2)如果銳銳兩次“求助”都在第二道題中使用,那么銳銳通關的概率是 .
(3)如果銳銳將每道題各用一次“求助”,請用樹狀圖或者列表來分析他順序通關的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法.
【專題】應用題.
【分析】(1)銳銳兩次“求助”都在第一道題中使用,第一道肯定能對,第二道對的概率為,即可得出結果;
(2)由題意得出第一道題對的概率為,第二道題對的概率為,即可得出結果;
(3)用樹狀圖得出共有6種等可能的結果,銳銳順利通關的只有1種情況,即可得出結果.
【解答】解:(1)第一道肯定能對,第二道對的概率為,
所以銳銳通關的概率為;
故答案為:;
(2)銳銳兩次“求助”都在第二道題中使用,
則第一道題對的概率為,第二道題對的概率為,
所以銳銳能通關的概率為×=;
故答案為:;
(3)銳銳將每道題各用一次“求助”,分別用A,B表示剩下的第一道單選題的2個選項,a,b,c表示剩下的第二道單選題的3個選項,
樹狀圖如圖所示:
共有6種等可能的結果,銳銳順利通關的只有1種情況,
∴銳銳順利通關的概率為:.
【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點為:概率=所求情況數與總情況數之比.
23.如圖,△ACB和△DCE均為等腰三角形,點A,D,E在同一直線上,連接BE.
(1)如圖1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求證:AD=BE;
②求∠AEB的度數.
(2)如圖2,若∠ACB=∠DCE=120°,CM為△DCE中DE邊上的高,BN為△ABE中AE邊上的高,試證明:AE=2CM+BN.
【考點】等腰三角形的性質.
【分析】(1)①通過角的計算找出∠ACD=∠BCE,再結合△ACB和△DCE均為等腰三角形可得出“AC=BC,DC=EC”,利用全等三角形的判定(SAS)即可證出△ACD≌△BCE,由此即可得出結論AD=BE;
②結合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC,再通過角的計算即可算出∠AEB的度數;
(2)根據等腰三角形的性質結合頂角的度數,即可得出底角的度數,利用(1)的結論,通過解直角三角形即可求出線段AD、DE的長度,二者相加即可證出結論.
【解答】(1)①證明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,
∴∠ACB=∠DCE=180°?2×50°=80°.
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,
∴∠ACD=∠BCE.
∵△ACB和△DCE均為等腰三角形,
∴AC=BC,DC=EC.
在△ACD和△BCE中,有,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
②解:∵△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC.
∵點A,D,E在同一直線上,且∠CDE=50°,
∴∠ADC=180°?∠CDE=130°,
∴∠BEC=130°.
∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°,
∴∠AEB=∠BEC?∠CED=130°?50°=80°.
(2)證明:∵△ACB和△DCE均為等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=120°,
∴∠CDM=∠CEM=×(180°?120°)=30°.
∵CM⊥DE,
∴∠CMD=90°,DM=EM.
在Rt△CMD中,∠CMD=90°,∠CDM=30°,
∴DE=2DM=2×=2CM.
∵∠BEC=∠ADC=180°?30°=150°,∠BEC=∠CEM+∠AEB,
∴∠AEB=∠BEC?∠CEM=150°?30°=120°,
∴∠BEN=180°?120°=60°.
在Rt△BNE中,∠BNE=90°,∠BEN=60°,
∴BE==BN.
∵AD=BE,AE=AD+DE,
∴AE=BE+DE=BN+2CM.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質、全等三角形的判定及性質、解直角三角形以及角的計算,解題的關鍵是:(1)通過角的計算結合等腰三角形的性質證出△ACD≌△BCE;(2)找出線段AD、DE的長.本題屬于中檔題,難度不大,但稍顯繁瑣,解決該題型題目時,利用角的計算找出相等的角,再利用等腰三角形的性質找出相等的邊或角,最后根據全等三角形的判定定理證出三角形全是關鍵.
24.在面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+2過B(?2,6),C(2,2)兩點.
(1)試求拋物線的解析式;
(2)記拋物線頂點為D,求△BCD的面積;
(3)若直線y=?x向上移b個單位所得的直線與拋物線段BDC(包括端點B、C)部分有兩個交點,求b的取值范圍.
【考點】待定系數法求二次函數解析式;二次函數的性質.
【分析】(1)根據待定系數法即可解決問題.
(2)求出直線BC與對稱軸的交點H,根據S△BDC=S△BDH+S△DHC即可解決問題.
(3)由,當方程組只有一組解時求出b的值,當直線y=?x+b經過點C時,求出b的值,當直線y=?x+b經過點B時,求出b的值,由此即可解決問題.
【解答】解:(1)由題意解得,
∴拋物線解析式為y=x2?x+2.
(2)∵y=x2?x+2=(x?1)2+.
∴頂點坐標(1,),
∵直線BC為y=?x+4,∴對稱軸與BC的交點H(1,3),
∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3.
(3)由消去y得到x2?x+4?2b=0,
當△=0時,直線與拋物線相切,1?4(4?2b)=0,
∴b=,
當直線y=?x+b經過點C時,b=3,
當直線y=?x+b經過點B時,b=5,
∵直線y=?x向上移b個單位所得的直線與拋物線段BDC(包括端點B、C)部分有兩個交點,
∴<b≤3.
【點評】本題考查待定系數法確定二次函數解析式、二次函數性質等知識,解題的關鍵是求出對稱軸與直線BC交點H坐標,學會利用判別式確定兩個函數圖象的交點問題,屬于中考常考題型.
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